Quando a Reta Real Desaparece - Uma Hipótese Contável

A questão que desencadeia tudo é decepcionantemente simples, quase ingênua. E se não existissem números reais? E se toda a continuidade, aquele axioma fundamental que torna os reais completos, fosse uma ilusão necessária mas não obrigatória? E se, em vez disso, tudo o que realmente existisse fosse uma hierarquia infinita, porém contável, de conjuntos também infinitos mas contáveis?

As coisas que um sujeito deprimido pensa em um domingo chuvoso. Não fosse tão interessante e perigoso, eu teria deixado para lá. Tomado um vinho, fumado um cachimbo, assistido ao Grande Prêmio do Canadá e seguido com a vida monótona. Mas, não.

Essa não é uma pergunta dirigida ao universo físico. Não estou questionando se a realidade sensível é discreta ou contínua. Estou apenas aborrecido com a definição de infinito que inferimos dos trabalhos de Cantor. Logo, essa é uma pergunta dirigida ao universo matemático. E talvez, pobre pretensioso, com estes foco a pergunta seja ainda mais importante, porque a matemática é o lugar onde nossas suposições metafísicas ficam completamente expostas.

Tudo pode ser testado e considerado se você tiver tempo, paciência e disposição então, seriam os números reais indispensáveis?

A Construção: Um Universo Numérico em Camadas

Comecemos pela formalização. Imagine o conjunto do domínio $D_n$ para cada natural $n$:

$$D_n=\{\frac{k}{{10}^n}:k\in \mathbb{Z}\}$$

Aqui está a ideia em sua forma mais crua, quase cruel. $D_n$ é o conjunto de todos os números que podem ser representados exatamente com $n$ casas decimais. Estes elementos são números da forma:

$$\frac{k}{{10}^n}$$

onde $k$ é qualquer inteiro. Portanto:

• $D_1=\{...,-0,2,-0,1,0,0,1,0,2,...\}$ — números com uma casa decimal
• $D_2=\{...,-0,25,-0,24,...,0,01,0,02,...\}$ — números com duas casas decimais
• $D_3,D_4,D_5,...$

Cada conjunto $D_n$ é infinito. E, de fato, enumerável. Você pode listá-lo:

$$D_n=\{...,-\frac{2}{{10}^n},-\frac{1}{{10}^n},0,\frac{1}{{10}^n},\frac{2}{{10}^n},...\}$$

Agora, defina o universo inteiro como a união:

$$D=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{D}_n$$

O conjunto $D$ contém todos os decimais finitos. Contém números como:

$$0,10,253,1415-17,000003$$

Mas, e aqui reside o ponto crítico que expressa minha maior decepção, não contém números que exigem expansão decimal infinita não-periódica. $D$ não contém:

$$\sqrt{2}=1,41421356237...\pi =3,14159265358...e=2,71828182845...$$

Nem contém racionais com representação decimal infinita periódica:

$$\frac{1}{3}=0,333333...\frac{2}{7}=0,285714285714...$$

Portanto, o universo $D$ é exatamente o conjunto dos decimais terminais:

$$D=\{x\in \mathbb{Q}:x=\frac{k}{{10}^n}\text{ para algum }k\in \mathbb{Z},n\in \mathbb{N}\}$$

Cardinalidade: O Tamanho do Universo Alternativo

Agora vem uma questão fundamental: quanto é $D$?

Cada $D_n$ é contável porque pode ser enumerado pelos inteiros. Uma enumeração de $D_1$ seria:

$$0,0,1,-0,1,0,2,-0,2,0,3,-0,3,...$$

A enumeração de $D_2$ seria ainda mais densa, mas igualmente enumerável¹.

Você tem uma quantidade contável de conjuntos:

$$D_1,D_2,D_3,D_4,...$$

E uma verdade fundamental da teoria de conjuntos, uma que Cantor provou rigorosamente, é que a união contável de conjuntos contáveis continua sendo contável. Portanto:

$$\left|\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_n\right|={\mathrm{\aleph }}_0$$

Neste universo alternativo, o tamanho é contável. Compare isto com os reais:

$$|\mathbb{R}|=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$$

A diferença é absoluta e intransponível. Você poderia enumerar cada elemento de $D$, um após o outro. Nunca conseguiria fazer o mesmo com o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$. Cantor já provou isso.

É importante frisar que essa prova não depende de como você escolha representar os números. Não é sobre notação decimal versus binária. A incontabilidade dos reais é um fato estrutural profundo: qualquer conjunto que contém um intervalo contínuo não pode ser enumerado. Este é o problema que me incomoda.

Densidade Vs. Continuidade: Duas Propriedades Distintas

Aqui reside uma das confusões mais persistentes em topologia e análise. Densidade e continuidade parecem estar relacionadas, mas não estão. $D$ é denso, mas não contínuo.

Dizemos que um conjunto $D$ é denso em si mesmo quando, dados dois elementos distintos quaisquer $a,b\in D$ com , sempre existe um terceiro elemento $c\in D$ entre eles:

$D$ tem essa propriedade. Por exemplo:

• Entre $1,2$ e $1,3$ existe $1,25$
• Entre $1,25$ e $1,26$ existe $1,255$
• Entre $1,255$ e $1,256$ existe $1,2555$

Você pode continuar refinando indefinidamente. Portanto, mesmo sendo contável, $D$ não parece “espaçado” ou “discreto” quando você o observa localmente. Tem sempre mais pontos entre dois pontos dados.

Mas isso ainda não é continuidade. Continuidade depende de uma propriedade muito mais forte: completude.

Completude: O Buraco Que Define Tudo

A completude, o axioma fundamental que distingue $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$, diz:

Todo subconjunto não-vazio de $D$ que é limitado superiormente possui um supremo em $D$.

Vamos testar isso em nosso universo.

Considere o conjunto:

Em $\mathbb{R}$, o supremo desse conjunto é exatamente $\sqrt{2}$. Mas em $D$?

$\sqrt{2}$ não pertence a $D$. Portanto, $A_D$ não tem supremo dentro de $D$. Tem um “buraco” exatamente onde o supremo deveria estar.

Pior ainda. Considere a sequência:

$$1,1,4,1,41,1,414,1,4142,1,41421,...$$

Cada termo pertence a $D$, todos têm representação decimal finita. Mas a sequência converge para $\sqrt{2}$, que não está em $D$. Formalmente:

$$(x_n)\subset D\text{mas}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\sqrt{2}\notin D$$

Em linguagem técnica: $D$ não é sequencialmente completo. Tem sequências que deveriam convergir, mas cujos limites não existem no próprio conjunto².

Isso é precisamente o problema que levou Dedekind e Cantor a inventarem os números reais em primeiro lugar. Os racionais têm o mesmo problema. Os números reais foram construídos especificamente para eliminar esses buracos.

E aqui estava o que eu não sabia e que provocou a questão inicial e que provocou este estudo. Se eu parasse aqui já teria valido a pena.

Aritmética em $D$: Nem Corpo, Nem Anel Completo

Uma pergunta natural emerge: se $a,b\in D$, então $a+b\in D$? E $a\cdot b$?

A resposta é: frequentemente, mas não sempre. E isso criaria patologias.

Se $a=0,5$ e $b=0,25$, então $a+b=0,75\in D$. Bom.

Mas considere divisão. Se $a=1$ e $b=3$, então $a/b=1/3=0,333...\notin D$.

Portanto, $D$ não é um corpo, não é fechado sob divisão. Na verdade, nem é um anel no sentido algébrico tradicional quando exigimos que todo elemento não-nulo tenha inverso multiplicativo³.

Isso significa que a aritmética em $D$ seria fundamentalmente diferente. Você não poderia fazer certas operações. Ou, para ser mais preciso, você poderia fazer as operações, mas o resultado sairia de $D$, levando você a um universo expandido.

Três Interpretações: Como Responder à Hipótese

Agora, usando um pouco mais de formalidade, podemos dizer que a hipótese original pode ser lida de três formas diferentes, cada uma levando a conclusões distintas.

Primeira Interpretação: Decimais Finitos Apenas

Se mantemos apenas os decimais finitos:

$$D=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{D}_n$$

Neste caso:

• $|D|={\mathrm{\aleph }}_0$ (contável)
• $D$ é denso
• $D$ é incompleto
• Não contém $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$, ou $1/3$
• Aritmética é problemática (falta fechamento)

Esse seria um universo genuinamente alternativo aos reais, mas patológico do ponto de vista analítico. Muitos dos teoremas do cálculo diferencial e integral entrariam em colapso. O teorema do valor intermediário, por exemplo, não funcionaria universalmente⁴.

Segunda Interpretação: Números Computáveis

Um número é computável se seus dígitos podem ser gerados por algum algoritmo, por alguma máquina de Turing, para ser preciso.

$\sqrt{2}$ é computável. Você pode escrever um programa que calcula $\sqrt{2}$ com qualquer precisão desejada.

$\pi$ é computável. Existem algoritmos que calculam seus dígitos.

$e$ é computável.

O conjunto dos programas é contável. Portanto, o conjunto dos números computáveis é contável⁵:

$$R_{comp}=\{\text{números reais computáveis}\}$$

e

$$|R_{comp}|={\mathrm{\aleph }}_0$$

Esse universo seria muito mais rico que $D$. Incluiria $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$ e praticamente todos os números que aparecem em aplicações práticas. Mas ainda não seria $\mathbb{R}$:

$$R_{comp}⊊\mathbb{R}$$

Existem reais não-computáveis. De fato, quase todos os reais no sentido cardinal são não-computáveis. O argumento é similar ao de Cantor: se você tenta listar todos os números computáveis, sempre pode construir um número cuja representação decimal é gerada de forma que difere do $n$-ésimo número computável na $n$-ésima casa decimal.

Olhando para a pergunta original acho que a questão realmente profunda que emerge aqui é: qual matemática “realmente existe”? Se você não pode computar um número, em que sentido ele existe? Essa é uma pergunta que construtivistas como Brouwer fizeram, e que ainda gera debate nos fundamentos da matemática⁶.

Terceira Interpretação: Expansões Infinitas Arbitrárias

Se você permitir todas as expansões decimais infinitas, não apenas aquelas que são computáveis, não apenas aquelas periódicas, mas literalmente toda sequência infinita de dígitos, então você inevitavelmente retorna ao contínuo e aos infinitos de Cantor.

O conjunto de todas as sequências infinitas de dígitos é:

$$\{0,1,2,...,9{\}}^{\mathbb{N}}$$

Esse conjunto é incontável. Seu tamanho é $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$. É o mesmo tamanho que $\mathbb{R}$.

Finalmente, reduzindo minha pretensão a zero, você recupera a continuidade, a completude e todos os problemas, e benefícios, que acompanham os números reais.

O Argumento Diagonal: Por Que Nenhuma Lista É Suficiente

A prova de incontabilidade é tão elegante quanto desconcertante. Eu estudei isso antes aqui. Cantor mostrou que não importa como você tente enumerar todos os decimais infinitos:

$$x_1,x_2,x_3,...$$

sempre é possível construir um número novo que não está na sua lista. Você faz isso alterando o $n$-ésimo dígito do $n$-ésimo número:

Se $$x_1=0.d_{1,1}{d}_{1,2}{d}_{1,3}...$$ $$x_2=0.d_{2,1}{d}_{2,2}{d}_{2,3}...$$ $$x_3=0.d_{3,1}{d}_{3,2}{d}_{3,3}...$$

Construa $$x_0=0.d_1^{\prime }{d}_2^{\prime }{d}_3^{\prime }...$$

na qual $d_n^{\prime }$ é qualquer dígito diferente de $d_{n,n}$.

Esse novo número $x_0$ não pode estar em sua lista. Se estivesse, seria igual a $x_k$ para algum $k$. Mas então $d_k^{\prime }=d_{k,k}$, o que contradiz a definição.

É um argumento simples, devastador e fundamental. Mostra que existem infinidades de diferentes tamanhos e que não existe uma infinidade máxima. Isso me irrita, contradiz meu senso comum e vai me assombrar mais alguns anos.

Essa ideia de que não existe um infinito máximo, de que para qualquer cardinalidade você pode encontrar uma maior, é profundamente perturbadora quando você realmente a compreende. Significa que o universo dos infinitos não tem teto. Cantor passou pelos últimos anos de sua vida em um hospício, parcialmente porque essa verdade o obsessionava.

O Ponto Decisivo: O Que Significa “Estar em Um Conjunto”

Aqui chegamos ao coração da questão. Qual seria a consequência mais profunda de viver em um universo onde $D$ substituísse $\mathbb{R}$?

Não seria principalmente a ausência de $\sqrt{2}$ ou $\pi$. Seria a ausência de completude. Seria viver em um universo onde processos de aproximação infinita têm lugar, mas nenhum objeto final dentro do sistema.

Imagine que você está tentando calcular $\sqrt{2}$ por aproximações sucessivas:

$$1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,...$$

Em nosso universo $D$, cada termo existe. Você pode escrever cada um deles. Mas a sequência não converge para nada dentro de $D$. Existe um processo infinito de aproximação, mas o objeto limite está fora do universo.

Esse é um estado de incompletude fundamental. Você tem movimento sem destino final. Você tem aproximação sem chegada.

Os números reais foram inventados especificamente para resolver esse problema. O axioma do supremo diz: Se você tem um processo de aproximação que é limitado, ele converge para algo dentro do sistema. Essa é a essência da completude.

Reflexão: Por Que Precisamos de Continuidade

A pergunta que fica é: por que Dedekind, Cantor e outros matemáticos do século XIX sentiram a necessidade de inventar os números reais em primeiro lugar?

A resposta honesta é: porque os racionais sozinhos não eram suficientes para cálculo. O teorema do valor intermediário não funcionava universalmente. As sequências de Cauchy não tinham sempre limites. O cálculo diferencial e integral, estruturas que já existiam há dois séculos, funcionava, mas não tinha fundação rigorosa.

Eu vou voltar aqui: O cálculo diferencial e integral, estruturas que já existiam há dois séculos, funcionava, mas não tinha fundação rigorosa. Esta frase me deu outra ideia interessante.

Os números reais foram construídos como uma solução a esse problema específico: adicionar os limites de todas as sequências convergentes que faltavam.

Agora surge uma questão profunda e talvez desconfortável: será que essa solução foi a única possível? Ou, como sua hipótese sugere, seria possível construir uma matemática alternativa que renunciasse à completude?

Parece que a resposta técnica é: sim, seria possível. Teríamos uma matemática com estruturas algébricas diferentes, com análise fundamentalmente alterada, mas não incoerente. Números computáveis oferecem um exemplo parcial disso.

Mas então por que não fazemos isso?

Responder a última pergunta foi mais demorado que a pergunta original deste artigo. Tive que procurar muito fundo, gastei o domingo todo nesta linha: Porque, pragmaticamente, a completude é tão profundamente útil que renunciar a ela seria renunciar a uma parte vasta da matemática que temos.

Eu vou voltar aqui também, com certeza absoluta.

Conclusão: Dois Universos

Temos, portanto, dois universos em contraste:

Universo $D$ (Decimais Finitos)

• Contável: $|D|={\mathrm{\aleph }}_0$
• Denso: sempre há pontos entre dois pontos
• Incompleto: nem toda sequência convergente tem limite
• Aritmética parcial: nem todas as operações fecham
• Sem $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$

Universo $\mathbb{R}$ (Números Reais)

• Incontável: $|\mathbb{R}|=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$
• Denso: sempre há pontos entre dois pontos
• Completo: toda sequência convergente tem limite
• Aritmética completa: é um corpo
• Contém $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$ e infinitamente mais

Parece que a escolha entre eles não é uma questão de verdade matemática absoluta. É uma questão de qual estrutura queremos trabalhar. Os reais venceram essa competição não porque sejam mais verdadeiros, mas porque são mais úteis. Oferecem mais estabilidade, mais completude, mais ferramentas.

Ao que tudo indica, a hipótese permanece válida como pensamento contrafactual. Ela nos força a examinar quais pressupostos sustentam nossa matemática. Ela nos mostra que a continuidade não é inevitável, apenas consequente.

E talvez, só talvez, quando entendemos que nossas escolhas matemáticas são escolhas, não destinos, entendemos algo mais profundo sobre a natureza do pensamento abstrato.

Referências

BROUWER, L. E. J. Intuitionism and formalism. Bulletin of the American Mathematical Society, Providence, v. 20, n. 2, p. 81-96, 1913. DOI: 10.1090/S0002-9904-1913-02440-6. Disponível em: https://www.ams.org/. Acesso em: 24 maio 2026.

CANTOR, G. Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Berlin, v. 77, p. 258-262, 1874. DOI: 10.1515/crll.1874.77.258. Disponível em: https://eudml.org/doc/148238. Acesso em: 24 maio 2026.

DAVIS, M. D.; SIGAL, R.; WEYUKER, E. J. Computability, complexity, and languages: fundamentals of theoretical computer science. 2. ed. San Diego: Academic Press, 1994.

DAUBEN, Joseph W. Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1979. Reprint: Princeton: Princeton University Press, 1990.

DEDEKIND, R. Stetigkeit und irrationale Zahlen. Braunschweig: Vieweg, 1872.

DEDEKIND, R. Stetigkeit und irrationale Zahlen. 2. ed. Braunschweig: F. Vieweg, 1892. Disponível em: https://archive.org/. Acesso em: 24 maio 2026.

HALMOS, P. R. Naive set theory. New York: Springer, 1974. DOI: 10.1007/978-1-4757-1645-0.

MUNKRES, J. R. Topology. 2. ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.

ROGERS, H. Theory of recursive functions and effective computability. Cambridge, MA: MIT Press, 1987.

RUDIN, W. Principles of mathematical analysis. 3. ed. New York: McGraw-Hill, 1976.

TURING, A. M. On computable numbers, with an application to the Entscheidungsproblem. Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, London, v. 42, n. 1, p. 230-265, 1937. DOI: 10.1112/plms/s2-42.1.230.

VAN DALEN, D. L. E. J. Brouwer: topologist, intuitionist, philosopher: how mathematics is rooted in life. London: Springer, 2013.

Notas de Rodapé