A Biblioteca Impossível: do Paradoxo de Russell ao Cálculo Lambda Tipado

Imagine uma biblioteca, vasta e silenciosa. O mais importante repositório do conhecimento humano, mesmo hoje, em tempos de internet, nada se compara ao folhear de um livro. No entanto, só é realmente útil se os livros puderem ser consultados. Nessa nossa biblioteca, de sonhos e lembranças boas, os livros estão organizados em prateleiras e estas em seções. Entre tantas, há uma seção especial. Onde estão os livros puros, humildes, os livros que não se referem a si mesmos.

Nossa bibliotecária, de olhos negros, grandes e profundos, escondidos atrás de óculos de vidro grosso que lhe disfarçam a beleza criando um ar de mistério e erudição, precisa de um catálogo. Justamente da seção dos livros que não citam a si mesmos. Este livro, este catálogo, deve ficar na própria seção. Feita a encomenda do catálogo, o autor do catálogo, arde em dúvidas e pergunta-se repetidamente: o catálogo lista a si mesmo?

O catálogo desta seção deve listar todos os livros que não se referem a si mesmos. Se o catálogo se referir a si mesmo, ele não pertence à seção especial e, portanto, não deve listar-se. Mas se o catálogo não se referir a si mesmo, então ele pertence à seção especial e deve listar-se. Isto é uma contradição.

Pobre da literatura, se perde nos meandros da lógica e da matemática. Talvez possamos entender o problema do escritor do catálogo se abandonarmos a literatura e abraçarmos a matemática. Foi o que Russell fez.

Este artigo percorre o caminho que sai daquela prateleira e chega, umas quatro décadas e dois continentes depois, nas linguagens de programação que a atenta leitora usa hoje. O trajeto tem três estações. Primeiro, o paradoxo e a hierarquia de tipos que Russell construiu para desarmá-lo. Depois, o cálculo lambda de Church, uma tentativa independente de fundamentar a matemática que adoeceu exatamente da mesma doença. Por fim, a cura: tipos aplicados a funções, e a descoberta, tardia e espantosa, de que tipos e proposições lógicas são a mesma coisa vista de dois ângulos.

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